MESURES DE TENDANCE CENTRALE
(données groupées)
Il arrive que les données brutes ne soient plus disponibles
parce que celles-ci ont déjà été regroupées en distribution de fréquences.
Néanmoins, il demeure possible d'approximer les différentes mesures de synthèse
(en travaillant sur le même exemple que précédemment, i.e. les notes de
comptabilité, on pourra évaluer la qualité de l'approximation)
LA MOYENNE
Hypothèse: chaque observation à l'intérieur d'une classe a une valeur égale aucentre de la classe (i.e. les sous- et sur-estimations s'annulent)
La formule est
où f = la fréquence dans la classe
m = (~) le centre de la classe
N = la somme des fréquences (nombre d'observations)
Exemple
Résultat |
Nombre d'élèves (f) |
Centre de classes (m) |
fm |
| 40 et moins de 50 | 4 | 45 | 180 |
| 50 et moins de 60 | 6 | 55 | 330 |
| 60 et moins de 70 | 10 | 65 | 650 |
| 70 et moins de 80 | 4 | 75 | 300 |
| 80 et moins de 90 | 4 | 85 | 340 |
| 90 et moins de 100 | 2 | 95 | 190 |
| Σ | 30 | 1990 |
On calcule alors
Ce qui est relativement proche de la «vraie» moyenne, c'est-à-dire
μ = 66,23
Notes
On constate ici l'importance de
° éviter les classes ouvertes
puisqu'on ne saurait évaluer le point milieu de ces classes
° situer les concentrations de données au centre des classes
sinon l'hypothèse du «point milieu» serait insatisfaite
° Selon certains auteurs, les points milieu, dans l'exemple
précédent,
seraient respectivement 44½ , 54½, 64½, ...
En effet, puisque la variable est discrète, le calcul effectué avec ces valeurs
serait
généralement plus précis, quoique, dans ce cas-ci, on obtiendrait
μ = 65,83
Voir aussi la «méthode abrégée» décrite
par les auteurs
(il s'agit d'une technique de calcul)
LA MÉDIANE
Étapes1° Localiser la classe médiane, i.e. celle qui contient la
médiane
(à partir de la distribution de fréquences cumulées)
2° Déterminer à laquelle des observations de cette classe correspond la médiane
3° Déterminer, par interpolation, la valeur approximative de la
médiane
(on suppose une répartition uniforme des données à
l'intérieur de la classe)
La formule est
où
LMd = la limite inférieure de la classe médiane
FC = la fréquence cumulée de toutes les classes précédant
la classe médiane
fMd = la fréquence de la classe médiane
l = la largeur de la classe médiane
N = le nombre d'observations
Exemple
La classe médiane est celle qui contient le quinzième
élève.
À partir de la distribution de fréquences cumulées, on
observe
qu'il s'agit de la classe «60 et moins de 70»; donc
Dans ce cas-ci, l'approximation est «exacte» puisque
la «vraie» médiane est aussi Md = 65
LE MODE
Définition: la classe modale est la classe qui a la plus haute fréquenceHypothèse: on suppose que le mode appartient à la classe modale
La formule est
où
LMo = limite inférieure de la classe modale
d1 = différence entre la fréquence de la classe modale et
celle de la précédente
d2 = différence entre la fréquence de la classe modale et
celle de la suivante
l = largeur de la classe modale
Exemple
La classe modale est «60 et moins de 70»
On calcule donc d1 = 10 - 6 = 4, d2 = 10 - 4 = 6
et
Ce qui est relativement proche du «vrai» mode, c'est-à-dire Mo = 65