MESURES DE DISPERSION

Justification (rappel)
° Juger la représentativité de la «tendance centrale» (valeur «typique»)
° Dans certains cas, prendre des mesures de contrôle de la variabilité

ÉTENDUE

Définition: L'étendue est la différence entre
la plus grande valeur et la plus petite valeur

Le formule générale est

où
G = la valeur la plus grande
P = la valeur la plus petite

Exemple
Dans notre exemple des notes de comptabilité, on a
G = 95 et P = 41
donc
Étendue = 95 - 41 = 54

ÉCART MOYEN

Définition: l'écart moyen, noté EM,
est la moyenne des écarts absolus
entre chaque observation et
la moyenne des observations

Étapes
° Calcul de la moyenne des observations
° Calcul de l'écart absolu entre chaque observation et la moyenne
° Calcul de la moyenne de ces écarts

La formule générale est

où
X = la valeur des observations
μ = la moyenne des observations
| | = le symbole de la valeur absolue
N = le nombre d'observations

Exemple

Voir le tableau de calcul

Tableau de calcul
X μ | X-μ|
68 66,23 1,77
74 66,23 7,77
42 66,23 24,23
47 66,23 19,23
50 66,23 16,23
65 66,23 1,23
52 66,23 14,23
41 66,23 25,23
57 66,23 9,23
65 66,23 1,23
78 66,23 11,77
66 66,23 0,23
49 66,23 17,23
59 66,23 7,23
60 66,23 6,23
55 66,23 11,23
61 66,23 5,23
72 66,23 5,77
56 66,23 10,23
79 66,23 12,77
88 66,23 21,77
68 66,23 1,77
90 66,23 23,77
63 66,23 3,23
69 66,23 2,77
81 66,23 14,77
87 66,23 20,77
65 66,23 1,23
85 66,23 18,77
95 66,23 28,77
1987 345,93

On a donc

VARIANCE et ÉCART TYPE

Définitions: la variance, notée σ2, est la moyenne des carrés des écarts
entre chaque observation et la moyenne des observations.
L'écart type, noté , est simplement la racine carrée de la variance.

Étapes
° Calcul de la moyenne arithmétique
° Calcul de la différence entre chaque observation et la moyenne
° Ces écarts sont mis au carré
° Calcul de la moyenne de ces carrés > Variance
° Extraction de la racine carrée de la variance > Écart type

Les formules sont

(ces formules sont bonnes dans le cas d'une population)
Par simples transformations algébriques, on a les formules

qui facilitent le calcul manuel

Exemple
Par le tableau de calcul de la page suivante, on a

ou, par la formule «simplifiée»

Tableau de calcul
X (X - μ) (X - μ)2 X2
68 1,77 3,12 4624
74 7,77 60,32 5476
42 -24,23 587,25 1764
47 -19,23 369,92 2209
50 -16,23 263,52 2500
65 -1,23 1,52 4225
52 -14,23 202,59 2704
41 -25,23 636,72 1681
57 -9,23 85,25 3249
65 -1,23 1,52 4225
78 11,77 138,45 6084
66 -0,23 0,05 4356
49 -17,23 296,99 2401
59 -7,23 52,32 3481
60 -6,23 38,85 3600
55 -11,23 126,19 3025
61 -5,23 27,39 3721
72 5,77 33,25 5184
56 -10,23 104,72 3136
79 12,77 162,99 6241
88 21,77 473,79 7744
68 1,77 3,12 4624
90 23,77 564,85 8100
63 -3,23 10,45 3969
69 2,77 7,65 4761
81 14,77 218,05 6561
87 20,77 431,25 7569
65 -1,23 1,52 4225
85 18,77 352,19 7225
95 28,77 827,52 9025
1987 0,00 6083,37 137689

INTERVALLE SEMI-INTERQUARTILE

Définitions
Le premier quartile, noté Q1, est le point qui sépare la portion de 25%
des valeurs les plus petites de la portion de 75% des valeurs les plus grandes
Le troisième quartile, noté Q3, est le point qui sépare la portion de 25%
des valeurs les plus grandes de la portion de 75% des valeurs les plus petites
La deuxième quartile correspond tout simplement à la médiane
L'étendue interquartile est la distance entre le premier et le troisième quartile
L'intervalle semi-interquartile (Q) correspond à la moitié de l'étendue interquartile

En formule

Q1 et Q3 sont obtenus par une méthode similaire à celle utilisée pour la médiane
On utilise les données rangées et, au besoin, une méthode d'interpolation

Exemple
Comme il y a 30 observations
Q1 correspond à la «30(25%)e = 7,5e observation»,
i.e. au point milieu entre la 7e observation (55) et la 8e observation (56)

Q3 correspond à la «30(75%)e = 22,5e observation»,
i.e. au point milieu entre la 22e observation (74) et la 23e observation (78)

D'où

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