ESPÉRANCE MATHÉMATIQUE
On sait qu'à chaque événement de l'espace échantillonnal est
associé
une probabilité; supposons qu'on lui associe également une
«valeur»
(donnée par la variable aléatoire)
La question est alors de savoir quelle «valeur», à long terme, peut-on
obtenir.
La valeur espérée, appelée espérance
mathématique,
est alors la moyenne pondérée, par la probabilité,
de toutes les valeurs des événements de l'espace échantillonnal
Pour la calculer, on fait
le produit de la valeur de chaque résultat possible par sa probabilité
d'apparition
et on fait la somme de tous les produits ainsi obtenus
En formule
où
E(X) = l'espérance mathématique de la variable X
x = toute valeur que peut prendre la variable X
P(x) = la probabilité d de la valeur x
Exemple
On suppose le jeu suivant:
en tirant un carte d'un jeu de 52 cartes, on donne 1$ si vous tirer un ♥, 2$ si
vous tirer un ♦, 5$ si vous tirer un ♣ et
10$ si vous tirer un ♠
On a alors le tableau de calcul suivant
Événement |
Valeur x |
Probabilité P(x) |
x P(x) |
| ♥ | 1 | 1/4 | 0,25 |
| ♦ | 2 | 1/4 | 0,50 |
| ♣ | 5 | 1/4 | 1,25 |
| ♠ | 10 | 1/4 | 2,50 |
| 1 | 4,50 |
Par conséquent E(x) = Σx P(x) = 4,50
i.e. que le «gain attendu» (ou moyen) est de $4,50
À ce jeu, on serait, à long terme,
gagnant de gager 4$, mais perdant de gager 5$