LA DISTRIBUTION BINÔMIALE

Définition: la distribution binômiale décrit la distribution de probabilités
lorsqu'il n'y a que deux résultats possibles à chaque essai et
que le résultat d'un essai est indépendant du résultat de tout autre essai

Exemples

° Lorsqu'on tire une pièce de monnaie, il n'y a que deux résultats: pile ou face
° Lorsqu'on tire une carte et qu'on regarde si c'est un ♥, il n'y a que deux résultats
possibles: c'est un ♥ ou ce n'est pas un coeur
Lors d'un tirage d'une carte par paquet dans cinq paquets côte à côte,
la distribution de probabilité donnant la probabilité d'obtenir 0, 1, 2, 3, 4 ou 5
cartes de ♥ est une distribution binômiale

Définitions

On appelle les deux résultats possibles: «succès» et «échec»
Le succès est le résultat pour lequel on désire déterminer
la distribution de probabilité, alors que l'échec est l'autre résultat
La probabilité (fixe) de succès en un essai est identifiée par la lettre p
alors que la probabilité d'échec lors du même essai est identifiée par la lettre q
On note que: p + q = 1 -> q = 1 - p

La probabilité d'obtenir r succès en n essais est donnée par

Exemple

Dans l'exemple ci-dessus, quelle est la probabilité
de n'obtenir aucun ♥ (donc r = 0) en tirant 5 cartes (donc n = 5)
La probabilité d'obtenir un ♥ en tirant chaque carte est 13/52 ou 1/4,
donc p = 1/4, q = 3/4 et

De même, on calcule





On obtient donc la distribution de probabilités suivante


Nombre de ♥ Probabilité
0 0,2373
1 0,3955
2 0,2637
3 0,0879
4 0,0146
5 0,0010
1

D'où
P(2) = 0,2637
P(2 ou 3) = P(2) + P(3) = 0,2637 + 0,0879 = 0,3516
P(plus de 2) = P(3) + P(4) + P(5) = 0,0879 + 0,0146 + 0,0010 = 0,1035

Calcul des mesures de synthèse
Pour toute distribution binômiale, on a

et

Dans l'exemple: n = 5, p = 1/4 et q = 3/4, donc
μ = 5(1/4) = 5/4 = 1,25
σ2 = 5(1/4)(3/4) = 15/16 = 0,9375

Utilisation de la table
Le calcul des probabilités binômiales peut devenir fastidieux
Ainsi, pour les valeurs fréquentes, on utilise la table de l'annexe I
dont voici un extrait
n r 0,01 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,40 0,50
1 0 0,990 0,950 0,900 0,850 0,800 0,750 0,700 0,600 0,500
1 0,010 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,400 0,500
2 0 0,980 0,902 0,810 0,722 0,640 0,562 0,490 0,360 0,250
1 0,020 0,095 0,180 0,255 0,320 0,375 0,420 0,480 0,500
2 0,000 0,002 0,010 0,022 0,040 0,062 0,090 0,160 0,250
5 0 0,951 0,774 0,590 0,444 0,328 0,237 0,168 0,079 0,031
1 0,048 0,204 0,328 0,392 0,410 0,396 0,360 0,259 0,156
2 0,001 0,021 0,073 0,138 0,205 0,264 0,309 0,346 0,312
3 0,000 0,001 0,008 0,024 0,051 0,088 0,132 0,230 0,312
4 0,000 0,000 0,000 0,002 0,006 0,015 0,028 0,077 0,156
5 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,002 0,010 0,031

Pour des valeurs de n, r et p données,
on trouve, dans la table, la probabilité correspondante
Exemple: les valeurs en gris correspondent aux valeurs calculées précédemment

Note: la table s'arrête à p = 0,50. Si p > 0,50, il faut utiliser la propriété
P(r succès en n essais avec une probabilité p)
= P(n-r échecs en n essais avec une probabilité q)
Exemple: P(4 cartes de ♥ en 5 essais) = P(1 carte de ♦,♣,♠ en 5 essais)

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