LA DISTRIBUTION NORMALE

Définition: une distribution normale correspond à la distribution de probabilités
d'une variable aléatoire continue dont la courbe est parfaitement symétrique,
unimodale et en forme de cloche

Formellement, une distribution normale
de moyenne μ et d'écart type σ est définie par la formule

Graphiquement, si trois distributions normales ne diffèrent que par leur moyenne:

Alors que si elles ne diffèrent que par leur écart type:

Aires sous la courbe et probabilités

Dans le cas des distributions continues, la probabilité
associée à une valeur ponctuelle est toujours nulle.
Les probabilités qui peuvent être évaluées sont celles qui correspondent à des
intervalles entre deux valeurs données.

La probabilité qu'une variable prenne une valeur entre a et b est égale à l'aire
sous la courbe entre les droites verticales élevées aux points a et b

Exemple
Supposons que la distribution des scores de Q.I. soit normale avec une moyenne
μ = 100 et un écart-type σ = 15, alors la probabilité qu'une personne choisie au
hasard ait un Q.I. situé entre 115 et 130 est donnée par l'aire grise de la figure

Pour déterminer l'aire sous la courbe normale pour un intervalle donné,
on utilise une table d'aires (il serait trop long de calculer l'intégrale)
Évidemment, on ne peut construire de table pour chaque courbe normale
(selon μ et σ), mais on peut en construire une pour la
courbe normale centrée réduite, i.e. avec μ = 0 et σ = 1
et rendre comparable, par changement d'échelle,
toute distribution normale à cette distribution de référence

Normalisation

Pour rendre une distribution normale quelconque comparable à la distribution
normale centrée réduite, il faut «normaliser» chacune de ses valeurs,
i.e. calculer la valeur Z correspondante.

Cette valeur Z est définie comme étant la différence entre la valeur considérée et
la moyenne de la distribution, divisée par l'écart type

En formule

Dans l'exemple



i.e., que les valeurs 115 et 130 se situent
respectivement à 1 et 2 écarts types de la moyenne

Utilisation de la table
La table de l'annexe 3 donne l'aire de la courbe normale centrée réduite
pour la zone indiquée en gris dans la figure

Voici un extrait de la table
Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,000 0,004 0,008 0,012 0,016 0,020 0,024 0,028 0,032 0,036
0,1 0,040 0,044 0,048 0,052 0,056 0,060 0,064 0,068 0,071 0,075
0,2 0,079 0,083 0,087 0,091 0,095 0,099 0,103 0,106 0,110 0,114
0,3 0,118 0,122 0,126 0,129 0,133 0,137 0,141 0,144 0,148 0,152
0,4 0,155 0,159 0,163 0,166 0,170 0,174 0,177 0,181 0,184 0,188
0,5 0,192 0,195 0,198 0,202 0,205 0,209 0,212 0,216 0,219 0,222
0,6 0,226 0,229 0,232 0,236 0,239 0,242 0,245 0,249 0,252 0,255
0,7 0,258 0,261 0,264 0,267 0,270 0,273 0,276 0,279 0,282 0,285
0,8 0,288 0,291 0,294 0,297 0,300 0,302 0,305 0,308 0,311 0,313
0,9 0,316 0,319 0,321 0,324 0,326 0,329 0,332 0,334 0,336 0,339
1,0 0,341 0,344 0,346 0,348 0,351 0,353 0,355 0,358 0,360 0,362
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2,0 0,477 0,478 0,478 0,479 0,479 0,480 0,480 0,481 0,481 0,482
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
3,0 0,499 0,499 0,499 0,499 0,499 0,499 0,499 0,499 0,499 0,499

La première colonne donne les valeurs de Z à une décimale et la première ligne
indique la seconde décimale. Les nombres inscrits aux intersections donnent l'aire
sous la courbe entre le point Z donné et 0.

Exemples
Pour Z = 0,61 on a 0,2291; pour Z = 1 on a 0,3413 et pour Z = 2 on a 0,4772

Note: Puisque la courbe est symétrique, ce qui est vrai
pour la moitié droite de la courbe l'est aussi pour la moitié gauche.
Par conséquent, pour Z = -1 on a 0,3413, etc.

Calcul des probabilités de la distribution normale

Notes importantes

° La valeur de Z doit toujours s'interpréter comme le nombre d'écarts types à
partir de la moyenne. La longueur de l'intervalle entre Z = 1 et Z = 2 est bien
un écart type, mais il ne détermine pas la même aire que l'intervalle entre la
moyenne et la valeur Z = 1.

° Puisque la courbe normale est une distribution de probabilité, l'aire totale sous la
courbe est égale à 1 et, par symétrie, l'aire sous chaque moitié est égale à 0,5

Méthode de calcul (étapes)

1° Calcul de la valeur de Z pour chaque borne de l'intervalle
2° Recherche dans la table de l'aire qui correspond à chaque valeur de Z
3a° Si les Z sont de signes opposés, on additionne les aires
3b° Si les Z sont de mêmes signes, on soustrait
la plus petite aire de la plus grande

Le résultat ainsi obtenu est la probabilité
qu'une valeur de X choisie au hasard se situe dans l'intervalle donné

Exemples

Quelle est la probabilité qu'une
personne ait un Q.I. entre 100 et 115?

On note que 100 correspond à μ
QI = 115 > Z = (115-100)/15 = 1

P(100 ≤ X ≤ 115)
= P(0 ≤ Z ≤ 1) = 0,3413

Quelle est la probabilité qu'une
personne ait un Q.I. entre 110 et 120?

QI = 110 > Z = (110-100)/15 = 0,67
QI = 120 > Z = (120-100)/15 = 1,33

P(110 ≤ X ≤ 120)
= P(0,67 ≤ Z ≤ 1,33)
= 0,4082 - 0,2486 = 0,1596

Quelle est la probabilité qu'une
personne ait un Q.I. entre 85 et 130?

QI = 85 > Z = (85-100)/15 = -1
QI = 130 > Z = (130-100)/15 = 2

P(85 ≤ X ≤ 130)
= P(-1 ≤ Z ≤ 2)
= 0,3413 + 0,4772 = 0,8185

Quelle est la probabilité qu'une
personne ait un Q.I. de plus de 115?

QI = 115 > Z = (115-100)/15 = 1

P(X ≥ 115) = P(Z ≥ 1)
= 0,5 - P(0 ≤ Z ≤ 1)
= 0,5 - 0,3413 = 0,1587

Quelle est la probabilité qu'une
personne ait un Q.I. de moins de 110?

QI = 110 > Z = (110-100)/15 = 0,67

P(X ≤ 110) = P(Z ≤ 0,67)
= 0,5 + P(0 ≤ Z ≤ 0,67)
= 0,5 + 0,2486 = 0,7486

Trouver une valeur pour une probabilité donnée

Il arrive des cas où, de façon inverse, on veut trouver
la valeur qui correspond à une probabilité donnée

Exemple: Quelle valeur de Q.I. délimite le 5% des scores
les plus élevés de la population?

Méthode

1° Identification du Z correspondant au pourcentage recherché
2° Calcul de la valeur de x correspondante par la formule

Exemple: Dans la table, le point Z identifiant le 5% supérieur
est aussi celui qui détermine une aire (entre 0 et Z) de 0,45
donc, en lisant «à l'envers», on a Z = 1,645 donc

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