ESTIMATION PAR INTERVALLES:
CONCEPTS DE BASE

Afin de réaliser cette estimation, il est nécessaire de faire des hypothèses quant à
la relation qui existe entre un paramètre et son estimateur

LA DISTRIBUTION D'ÉCHANTILLONNAGE DE LA MOYENNE (rappel)

LA LONGUEUR DE L'INTERVALLE

Propriété importante

Si 95% des valeurs possibles de se situent à moins de 2 de la moyenne de la
population, alors μ ne sera pas à plus de 2 de 95% des valeurs possibles de

Cet énoncé est également vrai pour d'autres valeurs que 2. Par exemple:
Si 68% des valeurs possibles de se situent à moins de 1 de la moyenne de la
population, alors μ ne sera pas à plus de 1 de 68% des valeurs possibles de

Illustrons ce propos par l'analogie suivante:
Si, pour 100 villes quelconques, 95 sont situées à 50 km ou moins de Montréal,
il est clair que, pour ces 95 villes, Montréal est située à 50 km ou moins.
Par conséquent, si on choisit une des 100 villes au hasard, la probabilité que
Montréal y soit distante de moins de 50 km est P = 0,95

Il est important de se rappeler qu'il s'agit d'une probabilité,
c'est-à-dire d'une valeur attendue suite à un grand nombre de tirages au hasard;
pour une ville en particulier, Montréal est ou n'est pas située à 50 km ou moins

Reprenons l'analogie précédente et appliquons-la à la distribution d'échantillonnage
en remplaçant Montréal par μ et les autres villes par les

Ainsi, si on calcule un grand nombre d'intervalles de la forme ± 2
(à partir d'autant d'échantillons), la moyenne μ cherchée se situera
à l'intérieur d'environ 95% de ceux-ci

Mais pour un intervalle donné, il faut souligner que le paramètre s'y trouve ou ne
s'y trouve pas. C'est la probabilité de s'y trouver qui vaut 95%

Dans le graphique ci-dessous, l'intervalle construit autour de ₁ ne contient pas μ,
alors que ceux construits autour de ₂ et de ₃ englobent le paramètre μ

RÈGLE GÉNÉRALE

En règle générale, si la distribution d'échantillonnage est normale,
on construit un intervalle de confiance pour μ par la formule générale
où
= la moyenne échantillonnale
= l'erreur type de la moyenne
Z = valeur déterminée par la probabilité associée à l'intervalle d'estimation
De plus, on note que
- = la limite inférieure de l'intervalle d'estimation
+ = la limite supérieure de l'intervalle d'estimation

LE NIVEAU DE CONFIANCE

Pour un niveau de confiance donné, on obtient, via la table de la distribution
normale, la valeur du Z appropriée pour construire l'intervalle voulu
(par la formule donnée ci-dessus)

Ainsi, pour les niveaux les plus souvent utilisés, on a le tableau suivant

Niveau de confiance	Valeur de Z	Forme de l'intervalle de confiance
90%	1,64	- 1,64 < μ < + 1,64
95%	1,96	- 1,96 < μ < + 1,96
99%	2,58	- 2,58 < μ < + 2,58

Compromis

On doit considérer plusieurs niveaux de confiance puisque, si on veut augmenter le
niveau de confiance, il faut accepter une marge d'erreur plus élevée.
En d'autres termes:
D'un plus haut niveau de confiance résulte un intervalle d'estimation plus long,
d'où une diminution de la précision de l'estimation

Aux extrêmes:
° Il n'y a (quasiment) aucune certitude
d'associée à une estimation ponctuelle
(i.e. aucun intervalle)
Exemple: demain, à 10h, il fera 20,0345...^oC
° La certitude est absolue que le paramètre
prenne une valeur quelconque
(i.e. intervalle non-borné)
Exemple: demain, à 10h, il fera entre -273^oC et 1356453....^oC

Généralement, le niveau de confiance est fixé avant que ne s'effectue l'estimation
Son choix dépend de la question à l'étude,
i.e de l'importance relative de la confiance et de la précision désirées

Exemple

Dans les données du cours de comptabilité, on avait obtenu,
pour des échantillons de taille n = 5, = 5,91,
et pour l'échantillon choisi: = 61,4
Par conséquent, pour un niveau de confiance de 90%,
on estimerait que μ (qu'on ignore) se situe entre 51,7 et 71,1;
par contre, pour un niveau de confiance de 99%,
on estimerait que μ se situe quelque part entre 46,2 et 76,6

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