ESTIMATION DE LA MOYENNE μ
LORSQUE σ EST CONNU
Rappels
° Si la population est distribuée normalement, la distribution
d'échantillonnage
des moyennes est une distribution normale, peu importe la taille des échantillons
° Si la population n'est pas distribuée normalement
ou si la distribution de la population est inconnue,
on sait que la distribution d'échantillonnage des moyennes est approximativement
normale dès que la taille des échantillons est assez grande (n >
30)
INTERVALLE DE CONFIANCE
L'intervalle de confiance pour μ, la moyenne de la population, est donné
par
où
= la moyenne de l'échantillon
Z = la valeur de Z qui correspond au niveau de confiance désiré
= l'erreur type de la moyenne, i.e.
si la population est infinie et
si la population est finie
En pratique, lorsque N est très grand, on néglige le facteur de
correction puisqu'il
vaut à peu près 1. Par exemple, si N = 6 millions et n = 100, on a
Exemples
Dans notre exemple du cours de comptabilité, on avait
= 61,40, n = 5, = 5,91
° pour un niveau de confiance de 99%, la valeur de Z est égale
à 2,58
Donc
- Z < μ < + Z
61,40 - 2,58(5,91) < μ < 61,40 + 2,58(5,91)
61,40 - 15,25 < μ < 61,40 + 15,25
46,15 < μ < 76,65
° pour un niveau de confiance de 90%, la valeur de Z est égale
à 1,64
Donc
- Z < μ < + Z
61,40 - 1,64(5,91) < μ < 61,40 + 1,64(5,91)
61,40 - 9,69 < μ < 61,40 + 9,69
51,71 < μ < 71,09
On remarque que cet intervalle est plus restreint que le précédent
mais son niveau de confiance est plus bas
Supposons qu'on obtienne, pour un échantillon
de cinq psychologues, les QI suivants
75, 88, 112, 85, 80
et on veut construire un intervalle avec un niveau de confiance de 95%
On sait (ou plutôt: on suppose) que = 15; on a aussi
= 88,00, n = 5, et puisque
N est très grand, on a
pour un niveau de confiance de 95%, la valeur de Z est égale à
1,96
Donc
- Z < μ < + Z
88,00 - 1,96(6,71) < μ < 88,00 + 1,96(6,71)
88,00 - 13,15 < μ < 88,00 + 13,15
74,85 < μ < 101,15