ESTIMATION DU POURCENTAGE π

Par conséquent, on peut construire, autour du pourcentage échantillonnal p,
un intervalle de confiance pour estimer le pourcentage de la population π

On a la formule

ou, puisque n ≥ 30, on peut prendre simplement

où p = la moyenne de l'échantillon
Z = la valeur de Z qui correspond au niveau de confiance donné
_p = l'estimé de l'erreur type du pourcentage, i.e.

selon, respectivement, que la population est finie ou infinie
(attention: il s'agit d'un estimateur de σ_p et le dénominateur est n-1)

On note que, dans le cas des pourcentages, on est toujours dans l'obligation
d'estimer l'erreur type σ_p puisque, si on le connaissait, on connaîtrait
nécessairement la valeur de π puisqu'on pourrait l'isoler dans la formule

et il serait inutile de construire un intervalle pour l'estimer

Exemples (#22 et #17)

Parmi 1000 téléspectateurs choisis au hasard, 340 affirment regarder assidûment
l'émission «Laure Dutemps». Au niveau de confiance de 95%, estimez le pourcentage
de téléspectateurs qui regardent assidûment l'émission.

On a p = 340/1000 = 0,34 = 34% et, puisque N est très grand,

De plus, pour un niveau de confiance de 95%, la valeur de Z est égale à 1,96
Donc
p - Z_p < π < p + Z_p
34% - 1,96(1,50%) < π < 34% + 1,96(1,50%)
34% - 2,94% < π < 34% + 2,94%
31,06% < π < 36,94%

Bjorn Talloz, un étudiant norvégien, veut savoir s'il vaut la peine de se porter
comme candidat à la présidence de l'Association des étudiants/es de l'université.
Un échantillon de 50 étudiants/es a montré que 22% des étudiants/es voteraient
pour lui. Estimez le véritable pourcentage à un niveau de confiance de 99%.

On a p = 22% et, puisque N est très grand,
le facteur de correction pour σ_p est négligeable et on peut calculer

De plus, pour un niveau de confiance de 99%, la valeur de Z est égale à 2,58
Donc
p - Z_p < < p + Z_p
22% - 2,58(5,92%) < π < 22% + 2,58(5,92%)
22% - 15,27% < π < 22% + 15,27%
6,73% < π < 37,27%
Donc, l'étudiant devrait réviser ses plans...

Suite > DÉTERMINATION DE LA TAILLE DE L'É'CHANTILLON