TEST D'HYPOTHÈSE SUR DEUX MOYENNES
LORSQUE LES σ SONT INCONNUS

Dans ce cas, le test d'hypothèse est de la même forme que le
test d'hypothèse sur deux moyennes lorsque les σ sont connus,
à l'exception du rapport critique qui est donné par

où l'erreur type est estimée de deux façons
différentes selon les conditions rencontrées

° Si les tailles n₁ et n₂ sont toutes deux suffisamment grandes (≥ 30)
Alors on estime l'erreur type par la formule

et le rapport critique résultant est approximativement une cote Z
-> Donc, à l'étape 3, on doit choisir une distribution normale

° Si n₁ ou n₂ est petite (< 30) et que l'on peut supposer que les distributions
des deux populations sont normales et de même écart type (i.e. σ₁ = σ₂)
Alors, il faut d'abord calculer l'écart type commun

puis on estime l'erreur type par la formule

et le rapport critique résultant suit une distribution t avec d.l. = n₁ + n₂ - 2
-> Donc, à l'étape 3, on doit choisir une distribution t avec ce nombre de d.l.

Exemple I [tiré de Oakes, 1986]
On administre un test à 250 psychologues et à 250 psychiatres pour mesurer leur
tendances psychopathes. Pour l'échantillon de psychologues, on obtient
_O = 50,7 et s_O = 5,2 tandis que pour les psychiatres, _I = 49,8 et s_I = 5,1.
Peut-on conclure, à un seuil de signification de 5%, que les psychologues
sont plus psychopathes (i.e. ont un score plus élevé) que les psychiatres?

° Étape 1: Formuler l'hypothèse nulle et l'hypothèse alternative
H₀: μ_O - μ_I ≤ 0 vs H₁: μ_O - μ_I > 0

° Étape 2: Choisir le seuil de signification du test et la taille des échantillons
α = 0,05, n_O = 250 et n_I = 250

° Étape 3: Déterminer la distribution pour effectuer le test
Puisque n_O ≥ 30 et n_I ≥ 30, on effectue une approximation
à l'aide de la distribution normale

° Étape 4: Définir la région critique
Z_0,05 = 1,645, par conséquent, la région critique est RC > 1,645

° Étape 5: Établir la règle de décision
Maintenir H₀ si RC ≤ 1,645 OU rejeter H₀ si RC > 1,645

° Étape 6: Faire les calculs nécessaires

d'où

° Étape 7: Prendre la décision
Puisque RC se situe dans la zone de rejet, on doit rejeter H₀
En d'autres termes, à partir de ces données, on pourrait conclure que les
psychologues semblent plus psychopathes que les psychiatres

Exemple II
Un pauvre professeur ose encore affirmer qu'il existe une différence entre les
hommes et les femmes sur un test d'habiletés spatio-cognitivo-émotives (sic!).
Encore pire, il prétend que les hommes ont un score de plus de deux points
supérieur à celui des femmes. Voici les données sur lesquelles repose son
affirmation: ° Hommes: 82, 80, 81, 84, 75 ° Femmes: 74, 79, 78, 71
Son affirmation est-elle digne d'intérêt au seuil de 5% (on suppose que σ_H = σ_F)?

° Étape 1: Formuler l'hypothèse nulle et l'hypothèse alternative
H₀: μ_H - μ_F ≤ 2 vs H₁: μ_H - μ_F > 2
° Étape 2: Choisir le seuil de signification du test et la taille des échantillons
α = 0,05, n_H = 5 et n_F = 4
° Étape 3: Déterminer la distribution pour effectuer le test
Puisque n_H et n_F sont petites, mais que σ _H = σ_F, on utilise une distribution t
° Étape 4: Définir la région critique
On a d.l. = n_H + n_F - 2 = 5 + 4 - 2 = 7, donc t_0,05 = 1,895,
par conséquent, la région critique est RC > 1,895
° Étape 5: Établir la règle de décision
Maintenir H₀ si RC ≤ 1,895 OU rejeter H₀ si RC > 1,895
° Étape 6: Faire les calculs nécessaires
On calcule d'abord _H = 80,4, s_H = 3,36, _F = 75,5 et s_F = 3,70. Ensuite


d'où

° Étape 7: Prendre la décision
Puisque RC se situe dans la zone d'acceptation, on doit maintenir H₀
En d'autres termes, l'argument du professeur
est peu fondé par rapport aux données présentées

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