TEST D'HYPOTHÈSE SUR
DEUX POURCENTAGES
Lorsque la taille des échantillons est suffisamment grande
(n1 ≥ 30 et n2
≥ 30),on sait que la distribution d'échantillonnage de la différences entre
deux pourcentages est approximativement normale et son écart type,
appelé erreur type de la différence des pourcentages, est donné par
Mais, on ignore π1 et π2 (c'est ce qu'on cherche) et on doit les estimer à l'aide des
pourcentages échantillonnaux, i.e. p1 et p2. Par suite, on estime l'erreur type par
(attention aux dénominateurs)
Dans cette situation, le test d'hypothèse suit les étapes habituelles
mais en tenant compte des particularités suivantes
° À l'étape 1: les hypothèses sont de la forme:
(1) H0: π1 - π2 = δ vs
H1: π1 - π2 ≠ δ
(2) H0: π1 - π2 ≤ δ vs H1: π1 - π2 >
δ
(3) H0: π1 - π2 ≥ δ vs H1: π1 -
π2 < δ
où δ est la différence hypothétique de
pourcentages entre les deux populations
(on pose souvent δ = 0%, i.e. que les deux populations sont
semblables)
° À l'étape 3: Puisque n1 et n2 sont grands, on utilise la distribution normale
° À l'étape 6: Le rapport critique est donné par la
formule
où
Exemple (#14)
Le directeur d'un collège affirme que les élèves de son collège
(groupe 1) se
trouvent plus facilement un emploi d'été que les élèves du
collège voisin
(groupe 2). Un échantillon aléatoire de 200 élèves du
groupe 1 montre que 55
d'entre eux se sont trouvé un emploi d'été alors que, pour un
échantillon de 150
élèves du groupe 2, le nombre est 40. Au seuil de 1%, le directeur a-t-il
raison?
° Étape 1: Formuler l'hypothèse nulle et
l'hypothèse alternative
H0: π1 - π2 ≤ 0 vs
H1: π1 - π2 > 0
° Étape 2: Choisir le seuil de signification du test et la taille des
échantillons
α = 0,01, n1 = 200 et
n2 = 150
° Étape 3: Déterminer la distribution pour effectuer le
test
Puisque n1 et n2 sont grandes, on utilise la distribution normale
° Étape 4: Définir la région critique
Z0,01 = 2,326, par conséquent, la région critique est RC >
2,326
° Étape 5: Établir la règle de décision
Maintenir H0 si RC ≤ 2,326 OU rejeter
H0 si RC > 2,326
° Étape 6: Faire les calculs nécessaires
Notons d'abord que p1 = 55/200 = 27,50% et p2 = 40/150 =
26,67%. Donc
d'où
° Étape 7: Prendre la décision
Puisque RC se situe dans la zone d'acceptation, on doit maintenir H0
En d'autres termes, les données sont insuffisantes pour justifier l'argument du
directeur. Il se semble pas que ses élèves trouvent plus facilement un emploi