LA PROBABILITÉ DES ERREURS
DE TYPE I ET DE TYPE II

ERREUR DE TYPE I

α = la probabilité de l'erreur de type I
i.e. la probabilité de rejet de H0 alors qu'elle est VRAIE

C'est donc la probabilité que le résultat du test statistique, calculé à partir des
données échantillonnales, soit dans la zone de rejet, alors que H0 est VRAIE

Cette probabilité est aussi appelée seuil de signification du test d'hypothèse

Exemple
(Illustration à l'aide d'un cas simple)

Supposons que nous désirons vérifier l'hypothèse que plus
d'une fois sur deux, une pièce de monnaie tombe du côté pile
On la lance 5 fois et on compte le nombre de fois qu'elle tombe sur pile
On pose donc: H0: π ≤ 50% vs H1: π > 50%
On suppose également la règle de décision suivante:
On rejette H0 si on obtient 5 piles, sinon on maintient H0


Si H0 est VRAIE,
la distribution de probabilité réelle
est donc une binômiale avec
n = 5 et π = 0,5
Dans ce cas, la probabilité
de faire L'ERREUR de rejeter
H0 est donnée par
α = P(5) = 0,031

ERREUR DE TYPE II

β = la probabilité de l'erreur de type II
i.e. la probabilité de maintien de H0 alors qu'elle est FAUSSE

C'est donc la probabilité que le résultat du test statistique,
calculé à partir des données échantillonnales,
soit dans la zone d'acceptation, alors que H0 est FAUSSE

Le complément de cette probabilité (i.e. 1-β)
est aussi appelé puissance du test d'hypothèse

Exemple
(cas simple)

Dans l'exemple précédent de la
pièce de monnaie, il se peut que H0
soit FAUSSE, c'est-à-dire que
π = 64% ou π = 70% ou
π = 51% (mais on l'ignore)
Pour chacune de ces valeurs, la
probabilité de maintien erroné de
l'hypothèse est différente, mais
d'autant plus faible que π
s'éloigne de la valeurs présumée

Supposons que π = 70%, la distribution de probabilité réelle est donc une
binômiale avec n = 5 et π = 0,7 (ci-dessus)
Dans ce cas, la probabilité de faire L'ERREUR de maintenir H0 est donnée par
β = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4)
β = 0,002 + 0,028 + 0,132 + 0,309 + 0,360 = 0,831

De la même façon, pour
π = 60%, on aurait β = 0,922
π = 80%, on aurait β = 0,672

De même, dans l'exemple du QI des cinq psychologues,
on avait H0: μ = 100 et = 6,71

Selon la situation réelle et selon la décision prise
on risque de commettre une erreur de type I ou de type II

Ici, dans le cas où H0 serait fausse, on suppose que, en réalité, μ = 96

C'est l'une OU l'autre situation qui correspond à la réalité
Mais on ne sait pas laquelle, puisqu'on n'a pas accès à la population

Pour calculer ces probabilités, supposons que la zone d'acceptation est l'intervalle
90 ≤ ≤ 110
alors

Il y a donc une probabilité de 13,62% de rejeter H0
par ERREUR lorsque μ = 100

Il y a donc une probabilité de 79,50% de maintenir H0
par ERREUR si, en réalité, μ = 96

(cette probabilité est élevée; il y aurait donc intérêt
à augmenter la taille de l'échantillon afin de réduire
l'erreur type de la moyenne - pour une valeur de α constante)

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