TEST D'HYPOTHÈSE SUR UNE MOYENNE
LORSQUE σ EST CONNU

Dans cette situation, le test d'hypothèse
sur une moyenne se fait de la façon suivante

° Étape 1: Formuler l'hypothèse nulle et l'hypothèse alternative
Soit une des trois possibilités suivantes:
(1) H₀: μ = μ_Ho vs H₁: μ ≠ μ_Ho
(2) H₀: μ ≤ μ_Ho vs H₁: μ > μ_Ho
(3) H₀: μ ≥ μ_Ho vs H₁: μ < μ_Ho
° Étape 2: Choisir le seuil de signification du test et la taille de l'échantillon
α est déterminée a priori (e.g. α = 0,05) et n doit tenter de minimiser α et β
° Étape 3: Déterminer la distribution pour effectuer le test
Il s'agit de la distribution normale (cote Z)
° Étape 4: Définir la région critique

Hypothèse	Zone de rejet	Zone d'acceptation
(1)	RC > Zα/2 ou RC < -Zα/2	-Zα/2 ≤ RC ≤ Zα/2
(2)	RC > Zα	RC ≤ Zα
(3)	RC < -Zα	RC ≥ -Zα

° Étape 5: Établir la règle de décision
Maintenir H₀ si la différence standardisée
entre et μ_Ho se situe dans la région d'acceptation
ou
Rejeter H₀ si la différence standardisée
entre et μ_Ho se situe dans la région de rejet
° Étape 6: Faire les calculs nécessaires
Prélever un échantillon et calculer le rapport critique

° Étape 7: Prendre la décision
Rejeter H₀ si la valeur de RC se situe dans la zone de rejet, sinon maintenir H₀

Exemple I
Prenons l'exemple du QI de nos cinq psychologues. On veut montrer que le QI
des psychologues est différent de 100, avec α = 0,05 et σ = 15

° Étape 1: Formuler l'hypothèse nulle et l'hypothèse alternative
H₀: μ = 100 vs H₁: μ ≠ 100

° Étape 2: Choisir le seuil de signification du test et la taille de l'échantillon
α = 0,05 et n = 5

° Étape 3: Déterminer la distribution pour effectuer le test
Puisque la distribution de QI est (supposée) normale,
on utilise la distribution normale

° Étape 4: Définir la région critique
Z_0,025 = 1,96, par conséquent, la région critique est RC < -1,96 ou RC > 1,96

° Étape 5: Établir la règle de décision
Maintenir H₀ si -1,96 ≤ RC ≤ 1,96 OU
Rejeter H₀ si RC < -1,96 ou RC > 1,96

° Étape 6: Faire les calculs nécessaires
Prélever un échantillon de cinq personnes et calculer
(rappel: on avait = 88 et = 6,71)

° Étape 7: Prendre la décision
Puisque RC se situe dans la zone d'acceptation, il n'y a pas d'évidence statistique
suffisante pour rejeter H₀; par conséquent, on doit maintenir H₀.
En d'autres termes, on maintient l'hypothèse
que les psychologues ont un QI moyen de 100

NOTE IMPORTANTE: On serait arrivé à la même conclusion en considérant
l'intervalle de confiance construit à la partie précédente
En effet, l'intervalle obtenu pour α = 0,05, est: 74,85 ≤ μ ≤ 101,15
et il contient la valeur hypothétique μ_Ho = 100

Exemple II (# 14)
Un hôpital reçoit une grosse quantité de fioles de sérum. Ces fioles ne doivent
contenir ni plus ni moins de 50 mg de sérum. On choisit un échantillon aléatoire
de 64 fioles et la moyenne obtenue est = 49,25 mg. On sait que l'écart type de
la population est pratiquement 2 mg. Au seuil de signification de 0,01, l'hôpital
devrait-il accepter la livraison?

° Étape 1: Formuler l'hypothèse nulle et l'hypothèse alternative
H₀: μ = 50 vs H₁: μ ≠ 50

° Étape 2: Choisir le seuil de signification du test et la taille de l'échantillon
α = 0,01 et n = 64

° Étape 3: Déterminer la distribution pour effectuer le test
Puisqu'on connaît σ et que n ≥ 30, on utilise la distribution normale

° Étape 4: Définir la région critique
Z_0,005 = 2,58, par conséquent, la région critique est RC < -2,58 ou RC > 2,58

° Étape 5: Établir la règle de décision
Maintenir H₀ si -2,58 ≤ RC ≤ 2,58 OU
Rejeter H₀ si RC < -2,58 ou RC > 2,58

° Étape 6: Faire les calculs nécessaires
Prélever l'échantillon et calculer

° Étape 7: Prendre la décision
Puisque RC se situe dans la zone de rejet, on doit rejeter H₀
Par conséquent, l'hôpital ne peut pas accepter la livraison

Exemple III
Reprenons l'exemple du cours de comptabilité. Supposons que si l'examen était
distribué aux 30 étudiants/es de ce cours, la distribution des notes serait à peu près
normale avec un écart-type de 14,24. À partir de l'échantillon de 5 personnes
créé précédemment, peut-on conclure, au seuil de signification de 5%, que
l'examen est trop difficile, i.e. que la moyenne du groupe sera sous 60

° Étape 1: Formuler l'hypothèse nulle et l'hypothèse alternative
H₀: μ ≥ 60 vs H₁: μ < 60

° Étape 2: Choisir le seuil de signification du test et la taille de l'échantillon
α = 0,05 et n = 5

° Étape 3: Déterminer la distribution pour effectuer le test
Puisqu'on connaît σ et que la population est supposée se
distribuer normalement, on utilise la distribution normale

° Étape 4: Définir la région critique
Z_0,05 = 1,64, par conséquent, la région critique est RC < -1,64

° Étape 5: Établir la règle de décision
Maintenir H₀ si RC ≥ -1,64 OU rejeter H₀ si RC < -1,64

° Étape 6: Faire les calculs nécessaires
Prélever l'échantillon et calculer (rappel: = 61,40 et = 5,91)

° Étape 7: Prendre la décision
Puisque RC se situe dans la zone d'acceptation, on doit maintenir H₀.
Par conséquent, on ne peut supposer que l'examen est trop difficile

NOTE IMPORTANTE: On serait arrivé à la même conclusion en considérant
l'intervalle de confiance construit à la partie précédente
En effet, l'intervalle obtenu pour α = 0,10, est: 51,71 ≤ μ ≤ 71,09
et il contient des valeurs hypothétiques de la forme μ_Ho ≥ 60

Exemple IV (# 19)
Un distributeur de fertilisant vend son produit dans des sacs de 22 kg.
La masse des sacs est distribuée normalement avec un écart type de 0,3 kg.
Un consommateur prétend que la compagnie fraude puisqu'il a acheté
quatre sacs dont la masse moyenne est 19,8 kg. Au seuil de signification
de 0,05, la plainte de ce consommateur est-elle fondée?

° Étape 1: Formuler l'hypothèse nulle et l'hypothèse alternative
H₀: μ ≥ 22 vs H₁: μ < 22

° Étape 2: Choisir le seuil de signification du test et la taille de l'échantillon
α = 0,05 et n = 4

° Étape 3: Déterminer la distribution pour effectuer le test
Puisqu'on connaît σ et que la population est supposée se
distribuer normalement, on utilise la distribution normale

° Étape 4: Définir la région critique
Z_0,05 = 1,64, par conséquent, la région critique est RC < -1,64

° Étape 5: Établir la règle de décision
Maintenir H₀ si RC ≥ -1,64 OU rejeter H₀ si RC < -1,64

° Étape 6: Faire les calculs nécessaires
Prélever l'échantillon et calculer

° Étape 7: Prendre la décision
Puisque RC se situe dans la zone de rejet, on doit rejeter H₀.
Par conséquent, la plainte du consommateur semble être fondée

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