TEST D'HYPOTHÈSE SUR UNE MOYENNE
LORSQUE σ EST INCONNU

Dans cette situation, le test d'hypothèse sur une moyenne se fait de la façon
suivante (note: les étapes 1, 2, 5 et 7 sont identiques à celles du cas précédent)

° Étape 1: Formuler l'hypothèse nulle et l'hypothèse alternative
Soit une des trois possibilités suivantes:
(1) H₀: μ = μ_Ho vs H₁: μ ≠ μ_Ho
(2) H₀: μ ≤ μ_Ho vs H₁: μ > μ_Ho
(3) H₀: μ ≥ μ_Ho vs H₁: μ < μ_Ho
° Étape 2: Choisir le seuil de signification du test et la taille de l'échantillon
α est déterminée a priori (e.g. α = 0,05) et n doit tenter de minimiser α et β
° Étape 3: Déterminer la distribution pour effectuer le test
Il s'agit de la distribution t de Student
° Étape 4: Définir la région critique

Hypothèse	Zone de rejet	Zone d'acceptation
(1)	RC > tα/2 ou RC < -tα/2	-tα/2 ≤ RC ≤ tα/2
(2)	RC > tα	RC ≤ tα
(3)	RC < -tα	RC ≥ -tα

où la valeur de t est donnée pour n-1 degrés de liberté
° Étape 5: Établir la règle de décision
Maintenir H₀ si la différence standardisée
entre et μ_Ho se situe dans la région d'acceptation
ou
Rejeter H₀ si la différence standardisée
entre et μ_Ho se situe dans la région de rejet
° Étape 6: Faire les calculs nécessaires
Prélever un échantillon et calculer le rapport critique

° Étape 7: Prendre la décision
Rejeter H₀ si la valeur de RC se situe dans la zone de rejet, sinon maintenir H₀

Exemple I
Prenons l'exemple de nos cinq psychologues, mais supposons encore qu'il s'agisse
d'un nouvel instrument pour lequel on ignore la valeur de σ, mais dont on a de
bonnes raisons de croire que les scores se distribuent normalement. On veut
vérifier si le score moyen des psychologues est différent de 100, pour α = 0,05.

° Étape 1: Formuler l'hypothèse nulle et l'hypothèse alternative
H₀: μ = 100 vs H₁: μ ≠ 100

° Étape 2: Choisir le seuil de signification du test et la taille de l'échantillon
α = 0,05 et n = 5

° Étape 3: Déterminer la distribution pour effectuer le test
Puisque la distribution est (supposée) normale et que σ
doit être estimé par s, on doit utiliser la distribution t

° Étape 4: Définir la région critique
Pour dl = 5-1 = 4, on a t_0,025 = 2,776,
par conséquent, la région critique est RC < -2,776 ou RC > 2,776

° Étape 5: Établir la règle de décision
Maintenir H₀ si -2,776 ≤ RC ≤ 2,776 OU
Rejeter H₀ si RC < -2,776 ou RC > 2,776

° Étape 6: Faire les calculs nécessaires
Prélever un échantillon de cinq personnes et calculer
(rappel: on avait = 88 et = 6,40)

° Étape 7: Prendre la décision
Puisque RC se situe dans la zone d'acceptation, on doit maintenir H₀.
En d'autres termes, on maintient l'hypothèse du score moyen de 100

NOTE IMPORTANTE: On serait arrivé à la même conclusion en considérant
l'intervalle de confiance construit à la partie précédente
En effet, l'intervalle obtenu pour α = 0,05, est: 70,23 &le μ ≤ 105,77

Exemple II (# 27)
Des ampoules dont la durée de vie moyenne est de 750 heures sont entreposées
depuis plusieurs années. On craint que ce long séjour n'ait réduit la durée de vie
des ampoules. En supposant que la durée de vie se distribue normalement, on
prend 10 ampoules dont la durée de vie moyenne est 710 heures avec un écart type
de 40 heures. Au seuil de 0,10, doit-on conclure que la durée de vie des
ampoules entreposées est significativement réduite?

° Étape 1: Formuler l'hypothèse nulle et l'hypothèse alternative
H₀: μ ≥ 750 vs H₁: μ < 750

° Étape 2: Choisir le seuil de signification du test et la taille de l'échantillon
α = 0,10 et n = 10

° Étape 3: Déterminer la distribution pour effectuer le test
Puisque la distribution est normale et que σ doit
être estimé par s, on utilise la distribution t

° Étape 4: Définir la région critique
Pour dl = 10-1 = 9, on a t_0,10 = 1,383
par conséquent, la région critique est RC < -1,383

° Étape 5: Établir la règle de décision
Maintenir H₀ si RC ≥ -1,383 OU
Rejeter H₀ si RC < -1,383

° Étape 6: Faire les calculs nécessaires
Prélever un échantillon de dix ampoules et calculer

° Étape 7: Prendre la décision
Puisque RC se situe dans la zone de rejet, on doit rejeter H₀ et accepter H₁
En d'autres termes, la durée de vie des ampoules semble effectivement plus courte

Exemple III (# 24)
Charles affirme que son score moyen au golf est 75. Charles a la réputation d'être
un fieffé menteur (quoique son score au golf se distribue à peu près normalement).
Vous l'observez pendant 9 rondes et vous calculez que pour ces rondes,
la moyenne est de 80 coups avec un écart type de 4 coups.
Au seuil de 0,01, qu'allez-vous conclure?

° Étape 1: Formuler l'hypothèse nulle et l'hypothèse alternative
H₀: μ ≤ 75 vs H₁: μ > 75

° Étape 2: Choisir le seuil de signification du test et la taille de l'échantillon
α = 0,01 et n = 9

° Étape 3: Déterminer la distribution pour effectuer le test
Puisque la distribution est (pratiquement) normale et que σ doit
être estimé par s, on utilise la distribution t

° Étape 4: Définir la région critique
Pour dl = 9-1 = 8, on a t_0,01 = 2,896
par conséquent, la région critique est RC > 2,896

° Étape 5: Établir la règle de décision
Maintenir H₀ si RC ≤ 2,896 OU
Rejeter H₀ si RC > 2,896

° Étape 6: Faire les calculs nécessaires
Prélever un échantillon de neuf rondes et calculer

° Étape 7: Prendre la décision
Puisque RC se situe dans la zone de rejet, on doit rejeter H₀ et accepter H₁
En d'autres termes, Charles est quelque peu menteur

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