TEST DE COMPARAISON DE PLUSIEURS POURCENTAGES

Supposons que l'on demande à un certain nombre d'étudiants/es de trois modules
de l'université s'ils/elles désirent prendre un cours de statistiques à la prochaine
session. On veut savoir, au seuil de 5%, si le pourcentage de gens qui songent à
s'inscrire est identique dans chaque module. Les résultats obtenus, présentés sous
forme de tableau de contingences, sont les suivants

MODULE RÉPONSE	Psychologie	Administration	Mathématiques	Total
Oui	30	32	25	87
Non	60	80	40	180
Total	90	112	65	267

Voici comment réaliser le test d'hypothèse correspondant

° Étape 1: Formuler l'hypothèse nulle et l'hypothèse alternative

H₀: le pourcentage des populations désirant s'inscrire à un cours
de statistiques est le même dans chaque module
vs
H₁: le pourcentage des populations désirant s'inscrire à un cours
de statistiques n'est pas le même dans chaque module

Attention: il n'est pas question ici de vérifier que le pourcentage de gens disant
«oui» est le même que le pourcentage de gens disant «non». Il ne s'agit pas non
plus de vérifier qu'il y a le même pourcentage de gens dans chaque module.

Une autre façon, équivalente, de formuler les hypothèses, serait:

H₀: le désir de s'inscrire à un cours de statistiques
est indépendant du module auquel appartient l'étudiant/e
vs
H₁: le désir de s'inscrire à un cours de statistiques
est dépendant du module auquel appartient l'étudiant/e

° Étape 2: Choisir le seuil de signification du test
Ce seuil réfère toujours à la probabilité de commettre
une erreur de type I lorsque l'hypothèse nulle est vraie.
Le seuil choisi ici est α = 0,05

° Étape 3: Prélever des échantillons et relever les fréquences observées
(voir le tableau de la page précédente)

° Étape 4: Calculer les fréquences théoriques espérées si H₀ était vraie

On remarque que, au total, 87 personnes, sur les 267 interrogées, désirent
effectivement s'inscrire à un cours de statistiques, soit 32,58%

Par conséquent, si l'hypothèse nulle était vraie, 32,58% de 90 étudiants/es en
psychologie devraient vouloir suivre un cours de statistiques, i.e.
32,58% × 90 = (87/267) × 90 = 29,33 personnes

Ce nombre correspond à la fréquence théorique espérée
pour la case «Oui - Psychologie» du tableau de contingence

De la même façon, on pourrait calculer cette fréquence théorique pour
chaque cellule; par exemple, pour la case «Non - Mathématiques», on a
(180/267) × 65 = 43,82

La formule générale pour calculer les fréquences théoriques espérées est

qui permet de construire le tableau des fréquences théoriques suivant

MODULE RÉPONSE	Psychologie		Administration		Mathématiques		Total
Oui	29,33	30	36,49	32	21,18	25	87
Non	60,67	60	75,51	80	43,82	40	180
Total	90		112		65		267

° Étape 5: Calculer la valeur de χ²
On complète le tableau de calcul suivant

Case (l/c)	fo	fe	fo - fe	(fo - fe)2	(fo - fe)2/fe
1-1	30	29,33	0,67	0,45	0,02
1-2	32	36,49	-4,49	20,16	0,55
1-3	25	21,18	3,82	14,59	0,69
2-1	60	60,67	-0,67	0,45	0,01
2-2	80	75,51	4,49	20,16	0,27
2-3	40	43,82	-3,82	14,59	0,33
Σ	267	267,00	0,00		1,87

Où, pour vérifier les calculs, on a
Σf_o = Σf_e et Σ (f_o - f_e) = 0

Finalement

° Étape 6: Comparer la valeur du χ² calculée avec la valeur critique de la table

Pour déterminer la valeur du χ² critique, on doit connaître α et d.l.

Pour un tableau de contingences, le nombre de d.l. est donné par la formule
d.l. = (l - 1)(c - 1)
où l = le nombre de lignes du tableau
et c = le nombre de colonnes du tableau

Ici = 0,05 et d.l. = (2 - 1)(3 - 1) = 1 × 2 = 2
À l'annexe 6, on voit que, pour ces valeurs, le χ² critique est 5,991

Puisque le χ² calculé (1,87) est inférieur à la valeur critique, on doit maintenir H₀

En d'autres termes, il semble que le pourcentage de gens qui désirent
suivre un cours de statistiques est le même dans chaque module

Exemple II (#9)

Pour cerner l'opinion des travailleurs sur un éventuel changement aux règles de
régie interne de la centrale syndicale qui les représente, l'exécutif a fait parvenir
un questionnaire à 100 membres de trois syndicats affiliés.
Les résultats du sondage apparaissent dans le tableau ci-dessous

SYNDICAT OPINION	x	y	z
Pour	17	23	10
Contre	9	13	8
Indécis	4	4	12

Au seuil de 0,05, les travailleurs des trois syndicats
diffèrent-ils significativement d'opinion?

° Étape 1: Formuler l'hypothèse nulle et l'hypothèse alternative
H₀: les pourcentages d'opinion sont les mêmes pour chaque syndicat
vs
H₁: les pourcentages d'opinion sont différents selon le syndicat

° Étape 2: Choisir le seuil de signification du test
Le seuil choisi ici est α = 0,05

° Étape 3: Prélever des échantillons et relever les fréquences observées
(voir le tableau ci-dessus)

° Étape 4: Calculer les fréquences théoriques espérées si H₀ était vraie
On complète le tableau suivant

SYNDICAT OPINION	x		y		z		Total
Pour	15	17	20	23	15	10	50
Contre	9	9	12	13	9	8	30
Indécis	6	4	8	4	6	12	20
Total	30		40		30		100

° Étape 5: Calculer la valeur de χ²
On complète le tableau de calcul suivant

Case (l/c)	fo	fe	fo - fe	(fo - fe)2	(fo - fe)2/fe
1-1	17	15	2	4	0,27
1-2	23	20	3	9	0,45
1-3	10	15	-5	25	1,67
2-1	9	9	0	0	0,00
2-2	13	12	1	1	0,08
2-3	8	9	-1	1	0,11
3-1	4	6	-2	4	0,67
3-2	4	8	-4	16	2,00
3-3	12	6	6	36	6,00
Σ	100	100	0		11,25

Donc

° Étape 6: Comparer la valeur du χ² calculée avec la valeur critique de la table
Pour α = 0,05 et d.l. = (3 - 1)(3 - 1) = 2 × 2 = 4 on a un χ² critique de 9,488
Puisque le χ² calculé est supérieur à la valeur critique,
on doit rejeter H₀ et accepter H₁
En d'autres termes, les travailleurs des trois syndicats semblent différer d'opinion

Notes
° On pourrait analyser plus en détail cette relation, mais il faudrait faire des
tests a posteriori. On peut néanmoins noter que, par exemple, les travailleurs
du syndicat z sont particulièrement «indécis» puisqu'on remarque que f_o > f_e;
en contrepartie, ils semblent moins «pour» puisque, pour cette cellule, f_o < f_e

° Il est important de noter que le test de comparaison de plusieurs pourcentages,
tel que présenté ci-dessus, n'est adéquat que si toutes les
fréquences théoriques espérées sont supérieures ou égales à 5

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